第143章 不見山巔
“首先，我們需要一個空間。傳統的數論研究是在整數軸上進行的，但整數軸太簡單，承載不了素數的全部結構。我們需要一個高維空間，能同時編碼素數的乘資訊和加資訊。”
他點開下一張PPT，上面是一個示意圖：一個巨大的圓環，上面標記著無數個小點。
“這個空間做顧—辛特徵空間，記作X。它的構造靈來自阿德爾環，但經過了辛幾何的改造。”
然後，肖宿開始解釋X的構造方法。
如何把每個素數p對應的p進數域組合起來，如何定義嵌對映φ，如何賦予拓撲結構。
“接下來是關鍵的一步，”肖宿說，“我們需要在這個空間上定義一個度量，使得孿生素數對在這個度量下距離相等。”
他點開下一張PPT，上面是一個公式：
關聯距離ρ(m,n) = 對每個不整除(m—n)的素數p求和ω(p) + 如果2整除(m—n)則加上ω(2)
其中權重ω(p) = —log(1 1/(p—1)2) 對於p＞2
“這個權重的選擇不是隨意的。哈代—李特爾伍德第二猜想給出了孿生素數對的漸近公式，其中的常數C就是∏_{p＞2}(1—1/(p—1)2)。而我們這個權重的和，恰好等於 —log C。”
臺下，陶哲軒眼睛一亮。
他明白了，肖宿把這個常數嵌進了度量裡，讓孿生素數對在這個度量下自取相同的值。
“所以，”肖宿繼續說，“對於孿生素數對(p, p+2)，它們的關聯距離ρ是常數。對於非孿生素數對，ρ會不同。”
他頓了頓，看向臺下：“也就是說，孿生素數對就是那些在X中距離為常數的特殊點對。”
這句話說得很輕，但在臺下引起了不小的。
“他把問題轉化了幾何問題，”舒爾茨低聲對旁邊的法爾廷斯說，“在X中尋找距離相等的點對。”
法爾廷斯點點頭，沒說話，但眼神很專注。
肖宿開始引辛結構，如何在X上定義一個辛形式Ω，如何證明平移變換是辛同胚，如何構造對合變換。
然後他講到了那個核心概念，也就是旋轉守恆量。
“在顧—辛理論中，任何辛流形都有一個旋轉守恆量，類似於理中的角量。對於X來說，這個守恆量可以過配分函式來計算。”
他點開一張PPT，上面是一個簡單的文字描述：
配分函式Z(N) = 對所有不超過N的素數p求和 e^{—ρ(p, p+2)}
旋轉守恆量Q = lim_{N→∞} (log Z(N) log N)
“計算這個極限，需要用到素數定理和一些解析數論的工，”肖宿說，“但最終的結果很簡單：Q = log C，其中C就是孿生素數常數，約等於1.32。”
臺下，塞爾點了點頭。
這個推導他剛才在德利涅給的筆記裡已經看過，每一步都站得住腳。
“如果只有有限個孿生素數對，那麼當N足夠大時，Z(N)中不再有新項加，求和趨於常數。於是log Z(N)趨於常數，而log N趨於無窮，所以Q = —∞。”
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