圖靈機並不是特指某一個或某一類機，而是一種用數學的語言所定義出來的概念，是為了解答20世紀數學家對數學的終極追問而發明的一種工。它的目的是為了對人類頭腦複雜數學活的象和簡化。
定義圖靈機需要七個集合。其中最重要的兩個分別是“有限的非空狀態（State）的集合”與“有限的非空符號（Syol）的集合”。前者代表著“這臺機能夠在紙帶上讀取和寫的符號種類”，也被稱作“數”。後者則代表“這機部可以出現的狀態”，被稱作“狀態數”——可以簡單的理解為“機可以開一檔二檔”。
餘下五個則包括了“空白符號”、“初始的輸符號”、“初始狀態”、“轉移函式集合”，以及特殊的“停機狀態”，即“機進該狀態之後就必須停機”。
只要備這七個要素，那麼一臺機就可以是圖靈機。
實際上，偉大的數學家阿蘭·圖靈在創造這個概念的時候，並沒有設計出可以實際執行的機。多年之後，馮·諾依曼才製造了一種基於電力的圖靈機工程實現。
舉個例子，算盤被一橫樑分作上下兩邊。上珠兩顆，過靠梁與否，可以用來表現0~2三種符號。下珠五顆，過靠梁與否，可以用來表現0~5六種狀態。算盤可以視作一種有三、六狀態的機。
這個時候，若是有數學家在紙上寫下了三六狀態所對應的所有轉移函式，並訓練一個人（或猴子）嚴格按照轉移函式集合撥算盤，那麼這個算盤再加使用者，就可以視作“一個圖靈機”了。
約格莫夫依稀記得，很多年前，他好像與向山做過類似的研究。將DNA視作圖靈機的“紙帶”，DNA的四種鹼基對視作“符號的集合”，而將氨基酸視作“狀態”，核糖與NA則備了“轉移函式集合”……
地球真核生的細胞核，或許是四N狀態的圖靈機。
而在眾多的圖靈機之中，有一種被稱作“海狸機”的玩意最為離譜。
BB(n)，BB意為“BusyBeaver”，忙碌的海狸。是一個在給定引數後，尋找可能產生的最大輸出的可終止程式。最簡單的二二狀態海狸機，只有“開和關”兩種狀態，並且只能輸出“0或1”，且會在輸出1的時候停止。二二狀態海狸機可以過6次狀態轉換輸出4個1，因此BB（2）=6。
BB（3）=21。
BB(4)=107。
然後，目前人類尚未列舉完所有5狀態的海狸圖靈機，只知道BB（5）要麼就是47，176，870，要麼就是大於10的十一次方。
BB（6）已經確定大於7.4*10^。
而在2016年，一名數學家將哥德赫猜想編碼為有43個狀態的海狸機。編碼邏輯很簡單，就是從小到大驗證每一個偶數。如果發現某個偶數可以表示兩個質數之和，則考察下一個偶數。只要這臺圖靈機跑完了BB(43)步，且在跑完之前沒有停機，那人類就可以斷定它永遠不會停機，所以哥德赫猜想為真。
但問題在於，宇宙只有不到10^80個原子。這個數量甚至遠小於BB（6），更遑論BB(43)。
約格莫夫驚歎於這個念頭的離譜程度。整個宇宙的質與能量，都支撐不了這種程度的計算。想要記錄下這個數字的數值，就得在宇宙的每一個原子上記錄下比宇宙原子數過多的數位。這是一個不可計算的數值。
“可即便如此，這仍舊是在‘有窮’的步驟裡完了對‘無窮’的追索。”向山卻是這麼介紹的，“如果我們用更加平庸的方式去窮舉所有的偶數，那我們需要的質與能量才是‘無窮’的。有理數是個無窮的概念。這種辦法最多隻能保證在哥德赫猜想為假的時候使用——即在無窮之中，找到了一個哥德赫猜想的反例。但是BB(43)，雖然它比宇宙更大，卻是一個有窮的數字。海狸機是在有限時間過有限步驟，完了對無限的探索。”
“但更妙的是，人類居然還能找出更妙的辦法來證明哥德赫猜想——最後的證明法，只消耗了太流溢而出的一點點熱。你看，智慧的效果是多麼可怕。”
養育從畢達哥拉斯到阿納託利之間所有數學家的能量，都是太釋放、植固化、轉化的小小一點能量。與宇宙相比，微不足道。
但是這一點微不足道的能量，卻解決了許多燒掉宇宙都難以得到的答案。
約格莫夫點了點頭。但旋即又想起了另一個問題。
——阿納託利是在20……几几年完……
……
“與‘窮舉無限’相比，BB(43)的效率高得可怕，不是嗎？但更可怕的是，人類卻能找出更加高效的路徑，通向問題的答案。”向山舉起了酒杯：“敬我們偉大的心智。”
約格莫夫點了點頭。他還記得，自己這位摯友的夙願，就是弄明白“智慧的力量為什麼可以這麼高效”。
智慧，對於這個宇宙來說，到底是什麼？
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