“時間尚早，我先問你一個問題——學習幾何究竟有何目的？”兩人互換了禮，師徒關係已然確立，杜寒也開始履行起教師職責。
“目的……”
杜寒的問題令孫元化一時語塞。
儘管他曾鑽研多年幾何，但從徐啟或利瑪竇那裡，從未有人提及此類問題。
如今被杜寒一問，才意識到自己竟從未思考過這個問題。
學習八是為了科舉，而幾何呢？大概只是糊里糊塗跟著徐啟學罷了。
“老師教什麼就學什麼，何必多問呢？”
許久，孫元化才戰戰兢兢地答道：“學生不知為何學幾何，或許僅因興趣使然吧。”說罷，他瞄了杜寒一眼，已漸漸習慣做學生的樣子，“元化愚笨，請先生指教。”
“不必過謙，我敢說你的幾何造詣在整個大明也是出類拔萃的。”杜寒讚許道，畢竟這樣一位份顯赫之人能如此虛心求教並不容易，“我們學習幾何的目的，在於鍛鍊邏輯思維能力，通過幾何的學習，會培養出縝的思維方式。”
“先生，何為邏輯思維？”
孫元化聽得一頭霧水，覺得杜寒這幾句話簡直如天書一般。
學習幾何怎麼能訓練出縝思維？難道人的聰慧不是天生的嗎？
“簡單來說，邏輯思維是一種看待事的方式，藉助分析、歸納、對比等方法，探尋問題的本因。”杜寒盡力以淺顯的話語解釋，孫元化雖似懂非懂，但也大致領會了其中含義。
“學習幾何的關鍵，並非記住多定理、解出多題目，而是從幾條最基本的公理起步，層層推匯出那些看似複雜深奧的定理。
這些定理或許令人費解，但當你回顧推導過程時，會發現每一步都嚴謹無誤。”
杜寒仍耐心開導，對於這位時代首肯自的文士，他不想辜負期。
聽至此，孫元化似有所悟：“所以，定理是絕對準確的，因為它源自嚴的推導。”
“沒錯，無論定理多麼匪夷所思，結果必然是正確的。
我們在解決實際問題時，也要像解幾何題般，逐步剖析每個環節，從而認清問題本質，方能找到妥善對策。”
短短數語，徹底改變了孫元化對幾何的認知。
他原以為學幾何不過如徐啟般確預報一次日食罷了，卻未料在杜寒眼中，幾何竟為思考問題的利。
“先生，我從未如此想過……”
“不，你肯定想過，只是沒察覺。
例如建奴之事，你肯定思索過，區區如蟻的建奴何以能在遼東興風作浪；你也必然思量過，朝廷年年投巨資，為何仍難以平息建奴之患。”
“先生……”
孫元化驚愕地注視杜寒，此刻他對杜寒的理解再度轉變。
先前，他還以為杜寒僅通曉幾何與火，拜師只為習幾何、知火，從未想過要與其探討大明的現實難題。
在他看來，一個年輕百戶怎懂國家大事？然而杜寒丟擲的問題直擊他的心，因為這確是他常思考的話題。
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